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視覚認知計算特論 2014年度 レポートその一 [edit]

いろいろ [edit]

  • 締切: 2014年6月5日(木)の授業開始時
  • 形式: 以下のいずれか
    1. PDFファイルにして高橋にメイルで送る
    2. A4の紙に書き,左上を綴じる
  • 以下では,太字のベクトル表記がわかりにくいかもと考えて,「ベクトルx」を &jsmath( \vec{x} ); と表記しています.ちなみに,数式の記述にはjsMath(*1)を使ってます.
  • 問題番号のとなりに com と書いてある問題は,octave, Mathematica, python + numpy 等,コンピュータを用いた数値計算によって答えを求めること( Docs/octave ). そうでない問題は手計算により答えを求めること.
  • 答えだけでなくそれに至る過程も記述すること. octave等を用いた場合は入力したコマンドとそれに対する出力をまとめてコピー&ペーストするなどしたらよい(それだけでなく説明も必要).

(*1) http://www.math.union.edu/~dpvc/jsMath/welcome.html 自分の環境にもこのサイトからフォントをダウンロードしてインストールすると,jsMathを使っているページをブラウザでより綺麗に表示できるでしょう.

問1 [edit]

&jsmath( n \times n); 行列 &jsmath(U); が直交行列であるとする. このとき,任意の &jsmath(n); 次元ベクトル(&jsmath( n \times 1 ); 行列)&jsmath( \vec{x}); および &jsmath( \vec{y} ); に対して &jsmath( \vec{x}' = U\vec{x});,&jsmath( \vec{y}' = U\vec{y} ); とおくと,&jsmath( ||\vec{x}' - \vec{y}'|| = ||\vec{x} - \vec{y}|| ); が成り立つ(&jsmath(U);による変換は二点間の距離を変えない)ことを証明しなさい.

問2 一部com [edit]

  1. 次の行列Aの固有値と対応する単位固有ベクトルを手計算で求めなさい. 固有ベクトルは互いに直交するように選ぶこと.

    #jsmath{{
    A = \left( \begin{array}{c} 4 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 3 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 5 \end{array} \right)
    }}

  2. octave等を用いてこの行列Aの固有値・固有ベクトルを求め,対角化できることを確認しなさい.

問3 一部com [edit]

1,2,3を固有値とし,どの固有値に対応する固有ベクトルも0を高々一つしか要素に含まないような 3x3 対称行列を2通り以上作りなさい. 作り方を説明し,正しい固有値固有ベクトルが得られることを手計算またはoctave等で確認すること.

ヒント: この授業的には,対称行列の対角化を逆に…

問4 com [edit]

  1. 教科書の国語,数学,英語のデータを 30 x 3 にならべたテキストファイルを作りなさい.
    • たいていの環境では,1行にひとり分の点数をならべたファイルとするのが便利でしょう
  2. それを読み込んで,国語,数学,英語の点数の平均値を求めなさい
  3. 上記のデータの分散共分散行列を求めなさい
  4. その固有値・固有ベクトルを求めなさい

上記のいずれの処理も,次元数やデータ数が 30 x 3 限定とならないように工夫すること. 例えば 100 x 5 個の数値がならんだテキストファイルを入力すると自動的に次元数5, データ数100として処理が進むようにしてほしい.


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Last-modified: 2014-08-13 (水) 13:45:19 (1136d)