ex15 練習1

問題1

x1,x2,…,xNx_1, x_2, \ldots, x_N の平均と分散を

xˉ=1N∑n=1Nxnsx2=1N∑n=1N(xn−xˉ)2\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n\\ s_x^2 &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n - \bar{x})^2 \end{aligned}

と定義するとき，一般に

sx2=1N∑n=1Nxn2−xˉ2s_x^2 = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} x_n^2 - \bar{x}^2

が成り立ちます．すなわち，(分散)=(二乗の平均)−(平均)2(分散) = (二乗の平均) - (平均)^2 という関係があります．

以下は，その証明の一部ですが，正しくないところがあります．

(1)(1) 等号が成立していない箇所はどこか，A から F の記号で答えなさい（一箇所とは限りません）．=X\overset{\textrm{X}}{=} という記号は，この問のために A から F の記号を等号の上に付け足したものです．通常の等号と同じものと解釈してください．

(2)(2) 正しい証明過程になるように式を修正しなさい．

sx2=1N∑n=1N(xn−xˉ)2　=A1N∑n=1N(xn2−2xnxˉ+xˉ2)=B1N∑n=1Nxn2−2∑n=1Nxnxˉ+∑n=1Nxˉ2=C1N∑n=1Nxn2−2xˉ∑n=1Nxn+∑n=1Nxˉ2=D1N∑n=1Nxn2−2xˉxˉ+xˉ2=E1N∑n=1Nxn2−2xˉ2+xˉ2=F1N∑n=1Nxn2−xˉ2\begin{aligned} s_x^2 & = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n - \bar{x})^2　\\ & \overset{\textrm{A}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n^2 - 2x_n\bar{x} + \bar{x}^2)\\ & \overset{\textrm{B}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2 - 2\sum_{n=1}^{N} x_n\bar{x} + \sum_{n=1}^{N}\bar{x}^2\\ &\overset{\textrm{C}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2 - 2\bar{x}\sum_{n=1}^{N}x_n + \sum_{n=1}^{N}\bar{x}^2 \\ &\overset{\textrm{D}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2 - 2\bar{x}\bar{x} + \bar{x}^2 \\ &\overset{\textrm{E}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2- 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 \\ &\overset{\textrm{F}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2- \bar{x}^2 \end{aligned}

問題2

x1,x2,…,xNx_1, x_2, \ldots, x_N の平均と分散を

xˉ=1N∑n=1Nxnsx2=1N∑n=1N(xn−xˉ)2\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n\\ s_x^2 &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n - \bar{x})^2 \end{aligned}

とおき，yn=axn+by_n = ax_n + b とおく（n=1,2,…,Nn=1,2,\ldots,N）．このとき，y1,y2,…,yNy_1, y_2, \ldots, y_N の分散 sy2s_y^2 について

sy2=a2sx2s_y^2 = a^2s_x^2

が成り立つことを証明しなさい．