ex15 練習1

問題1

x1,x2,,xNx_1, x_2, \ldots, x_N の平均と分散を

xˉ=1Nn=1Nxnsx2=1Nn=1N(xnxˉ)2\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n\\ s_x^2 &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n - \bar{x})^2 \end{aligned}

と定義するとき,一般に

sx2=1Nn=1Nxn2xˉ2s_x^2 = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} x_n^2 - \bar{x}^2

が成り立ちます.すなわち,(分散)=(二乗の平均)(平均)2(分散) = (二乗の平均) - (平均)^2 という関係があります.

以下は,その証明の一部ですが,正しくないところがあります.

(1)(1) 等号が成立していない箇所はどこか,A から F の記号で答えなさい(一箇所とは限りません).=X\overset{\textrm{X}}{=} という記号は,この問のために A から F の記号を等号の上に付け足したものです.通常の等号と同じものと解釈してください.

(2)(2) 正しい証明過程になるように式を修正しなさい.

sx2=1Nn=1N(xnxˉ)2 =A1Nn=1N(xn22xnxˉ+xˉ2)=B1Nn=1Nxn22n=1Nxnxˉ+n=1Nxˉ2=C1Nn=1Nxn22xˉn=1Nxn+n=1Nxˉ2=D1Nn=1Nxn22xˉxˉ+xˉ2=E1Nn=1Nxn22xˉ2+xˉ2=F1Nn=1Nxn2xˉ2\begin{aligned} s_x^2 & = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n - \bar{x})^2 \\ & \overset{\textrm{A}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n^2 - 2x_n\bar{x} + \bar{x}^2)\\ & \overset{\textrm{B}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2 - 2\sum_{n=1}^{N} x_n\bar{x} + \sum_{n=1}^{N}\bar{x}^2\\ &\overset{\textrm{C}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2 - 2\bar{x}\sum_{n=1}^{N}x_n + \sum_{n=1}^{N}\bar{x}^2 \\ &\overset{\textrm{D}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2 - 2\bar{x}\bar{x} + \bar{x}^2 \\ &\overset{\textrm{E}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2- 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 \\ &\overset{\textrm{F}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2- \bar{x}^2 \end{aligned}

問題2

x1,x2,,xNx_1, x_2, \ldots, x_N の平均と分散を

xˉ=1Nn=1Nxnsx2=1Nn=1N(xnxˉ)2\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n\\ s_x^2 &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n - \bar{x})^2 \end{aligned}

とおき,yn=axn+by_n = ax_n + b とおく(n=1,2,,Nn=1,2,\ldots,N).このとき,y1,y2,,yNy_1, y_2, \ldots, y_N の分散 sy2s_y^2 について

sy2=a2sx2s_y^2 = a^2s_x^2

が成り立つことを証明しなさい.